尖子生之路[七上系列]——有理数（12） ——数轴、绝对值与距离相关（2）
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尖子生之路[七上系列]——有理数（12）
——数轴、绝对值与距离相关（2）
1．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．零点值m=﹣1和m=2可将所有的数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简式子|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：
（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；
（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；
（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；
（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．
【解析】（1）可设x﹣5=0，x﹣4=0，解得：x=5和x=4．所以|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；
（2）根据“阅读材料”分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简；
当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；
当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；
当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．
综上讨论，原式=
（3）根据（2）中的化简结果判断即可．
当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；
当4≤x＜5时，原式=1；
当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．
所以代数式的最小值是1．
当然也可用上一篇文章（数轴与绝对值、距离相关（1）——点击直接打开）中的方法直接求解：
【反思】本题主要考查的是绝对值的化简，根据例题进行解答是解题的关键．
【拓展延伸】
1．若数轴上两点A、B表示的数为x、-4，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
2.|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
3.当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．
3．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）=15，则x﹣2y的最大值 和最小值 ．
【答案】
1.①|x+4| ②﹣6或-2
2.3；﹣1≤x≤2
3. 6；﹣7．
4.解：当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，相应x的取值范围是-1≤x≤3，最小值是14．
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